魔法陣 3×3 負の数 15

&-10e+be-10f+af \\ 以上より、 &=59 &=ad+be+cf-d(10-c) \\ \end{equation} ・「3×3×3の立方陣」(立体バージョンの魔方陣), 以前の記事「3×3の魔方陣の作り方」で紹介したように、3×3の魔方陣は次のように定まりました。 縦・横・斜めの数の和がすべて等しくなるように数が配置される魔方陣。今回は3×3の魔方陣の論理的な作り方を考えてみました。 &ad+be+cf-(dg+eh+fi) \\ &ad+be+cf-(dg+eh+fi) \\ 縦 となる。以上より、 \begin{equation} &=(a+c)d+(a+c)f+2be-10(d+e+f) \\ \begin{equation} &=45 \begin{equation} a^2+d^2+g^2=c^2+f^2+i^2 このとき、次の式が成り立ちます。 \begin{align} &=ad+be+cf-d(10-c)-e(10-b)-f(10-a) \\ \end{align}, 1と同じライン上に配置できる数の組み合わせが少ないことから、1について考えていきます。 ・「3×3×3の立方陣」(立体バージョンの魔方陣), 「まほうじん」と聞くと、ゲーム等で出てくる「魔法陣」を思い浮かべる方もいますが、数学の「まほうじん」は魔法の四角形という意味合いで「魔方陣」と書きます。英語にすると"magic square"です。まずは、この魔方陣の定義を確認しておきましょう。, \(~n\times n~\) の魔方陣とは、 \(~1,2,\cdots,n^2~\) の自然数を \(~n\times n~\) の正方形のマスに入れ縦・横・斜めの数の和が一定になるものを言う。, つまり、合計8ラインそれぞれの和が等しくなるように数の配置を考えてあげなければなりません。 これで縦横斜めの和が15に成ることがわかる。, 中心eを含む縦横斜めを求める。 6×1+7×5+2×9=1×8+5×3+9×4 d+e+f=X ・「3×3の魔方陣の作り方」   SPI, 数学, 解き方, 魔方陣, スポンサーリンク 正しく保管して長持ちさせる ディスクに傷をつけない 当たり前ですがディスクに傷があると読み込みに失敗すること有ります、研磨すれば傷は消せるがディスクへの負担があがります。 ディスクの一番外側には保護層と呼ばれる層が有り、ここに付いた傷はセーフ …, スポンサーリンク 古い映画を蘇らす技術 どちらもリマスター どちらも意味としては同じです。 アナログ(フィルム)からデジタルにする場合と すでにデジタル化されているが解像度が低いデータを加工して解像度を上げる場合があります。 この作業をリマスタリングといいます …, スポンサーリンク 葉っぱの切られたダイコンを畑に見かけるがあれは何なのか     鬆(す)ができないようにする為に葉っぱを切る 鬆(す)とは? ダイコンや蕪(かぶら)のような根菜類は収穫期が過ぎたり、収穫してから長期間放置していると、作物が …, スポンサーリンク 玉ねぎの皮を剥いた時に黒い墨のようなものが付いている・・・ 黒い物の正体 これは玉ねぎが「黒かび病」と言う病気になってできたもので、その名の通り黒かびの一種だそうです。 割合としては少ないですが、購入時にすでにカビが生えていたり、保存方法が悪 …, スポンサーリンク 期待を込めて☆五つ ☆の数だけで判断してはダメ ☆が多ければ良い商品かと言われれば答えはNOです。 ☆が少なければ悪い商品化といわれればこちらもNOです。 同じ商品でも評価は人によって代わってきます。 評価の厳しい人も居れば、甘い人も居ます。 …, スポンサーリンク amazonのKindle本を使っての感想 利点 場所をとらない →電子書籍なので本棚を圧迫したりしない。 好きなときに買える →売り切れが無く店頭に行く必要が無い。 どこでも読める →アプリをインストールすればスマフォでもパソコンでも同じア …, スポンサーリンク モーテルとは 映画の舞台になることも少なくないモーテルとはいったい何なのか? 英語で表記するなら「motel」 自動車の「motor」とホテルの「hotel」から来ている混成語 この事から分かるように自動車に乗って旅行している人が泊まりやすい …. 数学は面白いこと、不思議なことがいっぱい!数学に関する不思議なことや面白いことを、数学が苦手な人にもわかるように丁寧に紹介しています。数学や数字が好きになってくれたらうれしいです!, 「一見解けないんじゃない?」と思えるものでも、わずかな情報からマスに入る数字が分かってしまうこともあります。, ここでは、そんな魔方陣の解き方を詳しく解説しています。3×3の魔方陣の解き方をマスターしましょう。, ”魔方陣”とは下の図のように、正方形の中に数字が配置されているような形をしています。, いまの場合は、3マス×3マスの魔方陣を考えています。そして、使われている数字は1~9までです。, 縦、横、斜めの三つの数字を足した数は\(15\)となります。なぜ、\(15\)となるのかはこの記事の後半で説明しますね。, 3マス×3マスの魔方陣以外にも、4マス×4マスの魔方陣、5マス×5マスの魔方陣といったように、もっと大きくしていったものもあります。, このような魔方陣の場合、縦、横、斜めの三つの数字を足した数は\(15\)となりません。, 魔方陣に使われている数字は1~9までの数字が一回ずつ使われているということですので、縦、横、斜めの数字の合計は\(15\)です。, ですので、「あ」の上下の数字、そして「あ」の左側の二つの数字を足すと\(12\)です。, 先ほどの問題①は1~9までの数字が使われているという条件がありました。しかし、今度はそのような条件はありません。, そのためには、一列数字が揃った場所を探す必要がありますね。それは、一番左の縦のマスです。, ということは、「あ」が含まれている斜めの合計が\(18\)になるように「あ」を決めてやればよいでしょう。, 斜めには\(8\)と\(6\)が使われていますので、足して\(14\)です。よって、「あ」は\(4\)としてやればよいことが分かりますね。, 使われている数字は1~9までとは限りません。縦、横、斜めの数字の合計の数も分かっていません。, 縦と斜めの合計が等しいわけですから、その数から「い」のマスの数を引いても同じ数にならないといけないからです。, そして、「い」のマスの数を引いた数は上の図でオレンジで示した縦のラインから分かります。, 斜めのラインで「い」のマス以外は\(3\)と「あ」です。この二つの数の合計が\(13\)になるので、, 問題③の魔方陣をすべて埋めてみましょう。「あ」は分かっていますので、いま魔方陣は下のような状態です。, 問題③と同じ方法で、上の図の赤いマスを埋めます。下の図の青の枠で囲んだ部分の和を考えてください。, 二つの青い枠が含まれる列は右下のマスが共通していますので、青い枠内の合計の数は等しくなるはずです。, です。よって、縦の青い枠内の合計を\(18\)にしようとするなら、赤い枠の数字は\(15\)ということになります。, これが分かれば、左下と右下のマスが分かりますね。どちらも上の二つの数字を足して\(30\)になるような数字を入れます。, \(618\)、\(753\)、\(294\)の三つの数字ができました。これを二乗して、すべて足しましょう。, $$618^2 + 753^2 + 294^2 = 816^2 + 357^2 + 492^2$$, $$672^2 + 159^2 + 834^2 = 276^2 + 951^2 + 438^2$$. (a+b+c+d+e+f+g+h+i)+3e&=60 \\ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 3×3の魔方陣において、次の計算式が成り立つ。 ・「3×3魔方陣のもつ性質」 ③より、1と同じライン上には、5と9の組み合わせか6と8の組み合わせしかありませんでした。 実は、この魔方陣には様々な数の「魔法」が隠れています。その中の1つが次の法則。, 3×3の魔方陣において、次の計算式が成り立つ。 �=%���W*��p.�̱�w��>��*��K����ʎ��\�l�]sn�`{=,�V���2ӑx\����QB�l�a�@>�U/{���5����d,|���#0��BBen`YJ^On#ʤܷ�b�T`���c`d1���:�a��ИnƄ�QtJ�'�8�圢�l.�#��`Y���~��8�S���O8&�rI&��jd� �v�x���� y��d��Ùe4'�9��������C�>���e��+V.��5�B�� \begin{align} 3e&=15 \\ &-(10-d)^2-(10-g)^2 \\ (a+e+i)+(b+e+h)+(c+e+g)+(d+e+f)=15 \times 4 &=-100+20a-100+20d-100+20g \\ なるように数字を配置したものを魔法陣といいます。 魔法陣の3×3の作り方 . +g+h+i)+3e&=60 \\ これからも頑張ってください!応援させていただきます!, 例の魔法陣は本当にあるのですか? 3×3の魔方陣の場合、各列の合計が15になります。 子どもの遊びですが、タテヨコのマスの数を5にしたり9にしたりと、どんどん増やしていけばけっこう難しい問題になります。数学的にはややこしい計算をして作り上げるもののようです。 3×3の魔方陣の各マスを、下図のように \(~a~\) ~ \(~i~\) とおく。 今回は1~9の自然数が入る3×3の魔法陣を論理的に作ってみたいと思います。 Ⅱ 3×3魔方陣の作り方 こういったパズル要素のある問題は、普通あれやこれやと試行錯誤をしながら埋めていきますが、これを数学的に解決します。 小学校の算数で登場する魔方陣ですが、これが結構奥が深いです。「一見解けないんじゃない?」と思えるものでも、わずかな情報からマスに入る数字が分かってしまうこともあります。ここでは、そんな魔方陣の解き方を詳しく解説しています。3×3の魔方陣の解き方をマスターしましょう。 \begin{equation} \end{equation} これにより、 を証明したいので、 \(~ad+be+cf-(dg+eh+fi)~\) を考える。 少し変形する 7×2+5×9+3×4&=14+45+12 \\ 一番小さいなものはタテヨコ3マスずつの方形で、マスのひとつひとつに1から9までの数字を各々はめ込み、縦・横・斜めの合計を同じにするというものです。3×3の魔方陣の場合、各列の合計が15になります。, 子どもの遊びですが、タテヨコのマスの数を5にしたり9にしたりと、どんどん増やしていけばけっこう難しい問題になります。数学的にはややこしい計算をして作り上げるもののようです。, どうやったら作れるのかはウィキにも解説がありますが、ややこしくて分かりにくい方法です。私は、小学生のころに算数の得意な友達とふたりで簡単な作り方を考えつきました。, もちろん、世界で初めて見つけたハズはありませんが、あまり知られていないようなので、披露します。. ad+be+cf=dg+eh+fi   「3×3の魔方陣の作り方のⅡの①②」より、各ラインの和が15であり、 \(~e=5~\) と求まっているため、次の式が成り立つ。 升目には1~9の異なった数字が入るのでアルファベットを数字に置き換える事ができる。 がわかり、それぞれの項が各行の和を表すことから、1行中の3つの数の和は15ということがわかりました。, 次に、中央の数を通る4ラインの和について考えると、次の等式が成り立ちます。 横 \end{align}, これを式変形していくと、 &a^2+d^2+g^2-(c^2+f^2+i^2) \\ \end{align} &=89 &(a+e+i)+(b+e+h) \\ \begin{equation} c=10-a,f=10-d,i=10-g ②中央の数を求める 小学校の算数で全て埋めよなら同じように全て埋める。, - \end{align}, \begin{align} \end{align} &=0 魔方陣の研究、楽しい(^^), \(~a+g=15-d~,~c+i=15-f~\)を使えば\(~(a+c)+(g-i)=f-d~\)が、\(~a+i=10~,~c+g=10~\)を使えば\(~a+c+g+i-e=3e~\)が示せそうです。. ・「3×3魔方陣のすごい性質」 6×1+7×5+2×9=1×8+5×3+9×4 \end{align} 題意は示された。 \(~\blacksquare \), 計算結果がどちらも素数というのがまた魅力的ですね。魔方陣をどう組んだとしても、この2パターンの計算式しか挙がらないので、証明はこれで完了ですが、一応文字式を使った証明方法も考えられます。, 縦の計算式(赤い数式)について、証明をする。 \begin{equation} \begin{align} Ⅰ 両端平方和の法則 WordPress Luxeritas Theme is provided by "Thought is free". 15  15  15, 縦横斜めの数の和が一定になるので横の和を求める。 よろしくお願いします!, ありがとうさんのコメントに返信して下さい。 という等式から、 \(~d=7,f=3~\) がわかります。 Xに入る数字はいくつか, SPIはXを求めろなのでこれで終了になる。 魔方陣3×3の性質と解法①で、中央の数が分かっていれば空欄を簡単に埋められることが分かりました。このページでは中央の数がない問題の対処法を説明します。このタイプの問題では、次の性質を使います。向き合った数とは中央の数をはさんだ2つの数のことです。 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 正方形のマス(方陣)の中に1から順にマスの数だけの数字を1つずついれていき、縦・横・斜めの合計が全て同じ値になるように、数字を配置したものです。3×3の魔方陣の場合、各列の合計は「15」になります。, どんなものも、1から最後の数までの合計を、縦(もしくは横)のマス数で割ったものが、各列の合計と一致します。例えば、3×3の場合、1から9までの数字が入りますが、1~9までをすべて足した合計45を3で割ると15。, これが魔方陣の縦横の合計に一致します。5×5(縦横全部で25マス)のものであれば、縦・横・斜めは、1から25までの合計325を5で割った65になるはずです。, 尚、奇数×奇数のものと、偶数×偶数のものがありますが、私たちが考え出したものは奇数×奇数に限って使える方法です。, 3×3方陣の各列の外側に、真ん中に一つずつマスを追加します。そして、頂点のマスから順に斜めに、1、2、3……9と数字を入れていきます。, 上の頂点にある「1」を一番下の空いているマスに、右側の頂点にある「3」を一番左の空いているマスに、左の「7」を右の空いているマスに、下の「9」を上の空いているマスにそれぞれ、移動させます。これだけ!です。, この作業をするだけで、正確な魔方陣ができあがりました! 縦・横・斜めの合計を計算してみてください。いずれも15になっています。, 3×3の時は、真ん中にひとつマスを追加するだけですが、5×5、7×7、9×9と数が増えていくと少しややこしくなります。, 1列5つのマスのうち、真ん中の3つの外側にピラミッドを作るようにマスを積み上げます。(すぐ外側に3列マスを増やしたその上の中央にさらに1マス作ります), 例えば、一番上の列なら、5つのマスの上の中央に3マス追加し、その上に1マス加えます。, その上で、3×3のときと同じ要領で、頂点をスタートに1から順に数字を斜めに入れていきます。「5」まで入れたら、今度は「6」を「1」の斜め左下のマスから始めてください。, 「11」から「15」は方陣の対角線に入ることになり、「16」は方陣の外からスタートすることになります。「21」は左端の頂点からスタートし、「25」は最下段の頂点でエンドです。, 25まで入れ終えたら、今度ははみ出している「山」の部分を移動させます。3×3のときと同様に、上の「山」を一番下の空白のマスに、右の山を左端の空白のマスに、下の山を上の空白に、左の山を右の空白にそれぞれ、はめ込んでみましょう。, これで、5×5の魔法陣の完成です。縦・横・斜めの合計を計算してみてください。それぞれ「65」になるはずです。, これから先は、数が増えても同じです。7×7の場合は、追加する「山」の底辺が5マスになるだけです。これまでと同様に、頂点から順に数字を入れていき、端まで行き着いたら左上に戻って、また斜めに入れていきます。すべての数字を入れ終えたら、山を切り取って反対側に移動させるだけ。, こうして作ってみると、一定の規則というかパターンがあることがわかります。まず、中央値(真ん中の数:7×7の場合は「25」)は、必ず方陣の中心にくるということ。その中央値を囲んで、対角線上には連続する数字が並ぶこと(7×7の場合、22,23,24,25,26,27,28が対角線上に並ぶ)。, それと交差する対角線上には、中央値の等差数列が並ぶこと(7×7の場合、4,11,18,25,32,39,46:等差は7)。最小値である1と最大値は必ず中央値の上下に並ぶこと、などです。規則的に数字をはめ込んでいるので、結果に何がしかの規則が生まれるのは当然といえば当然なのですが。, 実は、どうしてこれで魔方陣ができるのか、私には分かりません。タダの小学生が遊んでいるうちに、偶然うまく行く方法を見つけただけなので、理論的な裏付けはありません。そのため、どんなに数が増えてもこの方法でうまくいくのかどうかはわからないのです。, 小学生時代には、25×25までの方陣について実際に作って試してみたところ、全てうまくいきました。3×3から25×25までうまくいくのですから、この先もうまくいくはずだろうと、推論します。, 当時は、手計算でしたのでこの程度までしかチャレンジできませんでしたが、今ならエクセルを使えばすぐにタテヨコの計算ができるので、検証は簡単です。どなたか興味のある人は、99×99などを試してみてください。, もっとも、簡単につくれる方法が分かってしまうと、知恵を絞って作り上げる楽しみはなくなってしまうのですけれども。, Copyright ©  ネタ!museum・知る蔵campus~総合情報ポータル.

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