逆 行列 計算サイト 13

2 & 1 2 & 3 & 3 \\ \left( -1\right) ・ 3+3・ 1 & \left( -1\right) ・ 5+3・2 0 & 1 & 8 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & -2 3・ \left( -2\right) +5・ 2 & 3・ 5+5・ \left( -2\right) \\ \end{bmatrix}$$, 単位行列の特徴の一つである、「どんな行列との積も、掛けた行列になる」ことを利用します。, (これは、実数の世界で、「1」をどんな数と掛け合わせても、掛け合わせた数になることと同様です。), $$\begin{bmatrix} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} では、その逆行列は常に求まるのでしょうか?また、どのようにして逆行列を計算するのかここから解説していきます。 逆行列は存在しない事もある. -1 & 3 2 & 1 2 & -5 \\ -2 & 5 \\ \end{pmatrix}$$がAの逆行列になっています。, $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ \end{pmatrix}$$, $$\begin{pmatrix} 1 & 2 -1 & 3 0 & 1 2・ 4+\left( -5\right) ・ 2 & 2・ 5+\left( -5\right) ・ 1 \\ 11 & -12 & 9 \\ \end{pmatrix}$$, ・最後に、3列目の1行・2行目の成分を0にするために、{(1行目)+11×(3行目)、と、(2行目)ー8×(3行目)を行います。}, $$\begin{pmatrix} a & b \\ 2 & 3 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ nxn行列の逆行列をLU分解で計算します。 ... [10] 2018/07/08 13:47 女 / 20歳未満 / 高校・専門・大学生・大学院生 / 少し役に立った / \end{pmatrix}$$, $$=\begin{pmatrix} 「29÷4=6あまり5 ←この計算の間違いを探そう! という物があった。 頭の中で4×6が24で、29-24=5(←余り)どこが間違ってるんだよ! 1 & 2 -c & a \end{pmatrix}$$, ・さらに、2行目と3行目を入れ替えて、2列目は2行2列の成分のみ0になるように計算します。, $$\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 今回は、逆行列とは何なのかや、逆行列がもつ性質について学習しました。 -8 & 9 & -7 \\ \end{pmatrix}$$, を計算すると、確かに単位行例Eになることから、逆行列であることが確かめられました。, ・次回は、今回までの知識を使って「一次変換」と言われる分野を初めから見ていきます。, 《NEW》逆行列の三番目の求め方である「余因子行列」を用いた方法についての記事を作成しました。→「余因子行列の作り方と逆行列の公式への応用」, >>「【随時更新】線形代数シリーズ:0から学べる記事総まとめ【保存版】」を読む<<, ・第六回:「対角化/対角行列の意味と手順をわかりやすく解説!行列のn乗への応用も」, 当サイト「スマナビング!」では読者の方のご意見や、記事のリクエストなどをもとに改善・記事の追加、更新を行なっています。, ・また、多くの方に利用して頂くため、にSNSでシェア・当サイト公式Twitterのフォローをして頂くと大変励みになります。, ・より良い記事作成と「スマホ一台でいつでも、どこでも、必要な人へ学びを提供する」為にぜひご協力お願い致します!. 11 & -12 & 9 \\ -2 & 5 \\ 高校数学/物理/化学と線形代数をメインに解説!いつ・どこでもわかりやすい、差が付く記事が読めます!社会人の方の学び直し(リカレント教育)にも最適です。, プロ講師(数学/物理/化学/英語/社会)兼個別指導塾YES主宰/当サイト「スマホで学ぶサイト、スマナビング!」を運営しています。/指導中、実際に生徒が苦手意識を持っている単元について解説記事を執筆。詳細は【運営元ページ】をご覧ください。, スマナビング!は、いつ・どこでも(独学でも)資格試験(電験三種、数検、統計検定・就活のためのSPI(非言語)etc,,,)対策や、テスト勉強対策が出来るサイトです。. 0 & -1 & -7 & 1 & -2 & 0 \\ \end{pmatrix}$$, $$\begin{pmatrix} -1・ 4+3・ 2 & \left( -1\right) ・ 5+3・ 1 ご使用のブラウザは、JAVASCRIPTの設定がOFFになっているため一部の機能が制限されてます。, [1]  2018/02/23 16:04   男 / 20歳代 / 高校・専門・大学生・大学院生 / 非常に役に立った /, [2]  2017/04/27 12:59   男 / 30歳代 / 教師・研究員 / 非常に役に立った /, [3]  2015/10/22 11:24   男 / 20歳代 / 高校・専門・大学生・大学院生 / 役に立った /, [4]  2014/12/23 14:32   男 / 20歳代 / 高校・専門・大学生・大学院生 / 少し役に立った /, [5]  2014/03/04 00:08   男 / 20歳代 / 高校・専門・大学生・大学院生 / 役に立った /, [6]  2013/05/25 19:24   男 / 20歳未満 / 高校・専門・大学生・大学院生 / 少し役に立った /, [7]  2012/11/27 23:50   - / 20歳代 / 高校・専門・大学生・大学院生 / 役に立った /, [8]  2012/07/29 15:28   男 / 20歳未満 / 高校・専門・大学生・大学院生 / 役に立った /, [9]  2012/07/28 19:01   女 / 20歳未満 / 高校・専門・大学生・大学院生 / 役に立った /, [10]  2012/07/23 23:56   男 / 20歳未満 / 高校・専門・大学生・大学院生 / 役に立った /, \(\normalsize A={\left[\begin{array}\\ a_{\small 11}& a_{\small 12}& a_{\small 13}\\ a_{\small 21}& a_{\small 22}& a_{\small 23}\\a_{\small 31}& a_{\small 32}& a_{\small 33}\\\end{array}\right]}\hspace{20px}A A^{\small -1} =A^{\small -1}A=I\\, \(\normalsize AA^{\small -1} =LUA^{\small -1}=I\\. 今回は、線形代数学入門の第三回として、行列の割り算を普通の数と対応させて紹介していきます。, ・このシリーズは、行列(線形代数)を0から大学での本格的な線形代数学への橋渡しをするものです。, 以下の<図1>の様に、数と行列、逆数と逆行列、1と単位行列Eがそれぞれ対応しているのです。(詳しく説明します。), それと同様の考え方をすれば、「行列を割り算したい」→「その行列の逆行列を掛ければ良い」となります。, では、その逆行列は常に求まるのでしょうか?また、どのようにして逆行列を計算するのかここから解説していきます。, 実数の時を思い出してみると、例えば0の逆数を考えてみます。逆数「1/0」(分母が0)は存在しませんね?。, $$行列A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$$, $$B=\begin{pmatrix} \end{bmatrix}$$, $$(左辺)=\begin{bmatrix} \end{pmatrix}$$, $$=\begin{pmatrix} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 1 & 2 & 5 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & -5 \\ 1 & -1 & 1 d & -b \\ 1 & 2 & 5 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$, この、"1/ad-bc"の分母の部分である“ad-bc”には名前が付いており、「行列式」と呼ばれます。, 線形代数において非常に大切なものなので、詳細については別の記事で詳しく取り上げます。, <線形代数(8)「3×3の行列式を求める”サラスの公式”」の解説記事をアップしました>, また、逆行列が存在する正方行列(行数と列数が同じ行列詳しくは≫「行列同士の掛け算の順序」)のことを「正則行列」と言います。, 一方で、上記のように行列式ad-bcが0である=逆行列が存在しない正方行列のことは「特異行列」と呼ばれます。, それぞれ2×2の正方行列A、B、Cについて、AB=Cが成立しており、かつAとCの成分が分かっている時に、行列Bを求める方法を考えてみます。, 実数の場合は、再掲する以下の図2のように逆数を両辺にかける事で求めることができました。, $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -11 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 3 & 5 \\ \end{bmatrix}$$, $$よって、A^{-1}=\begin{bmatrix} -1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}B$$, $$(右辺)=\begin{bmatrix} -1 & 3 \end{pmatrix}$$, $$行列B=\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ エクセルで3×3行列の逆行列を求める方法 . c & d 1 & 2 & 5 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 5 \\ -8 & 9 & -7 \\ \end{bmatrix}$$, $$=\begin{bmatrix} -1 & 3 \end{pmatrix}と求まります。$$, $$(左辺)=\begin{pmatrix} 1・ \left( -2\right) +2・ 2 & 1・ 5+2・ \left( -2\right) \end{bmatrix}B=\begin{bmatrix} 1 & 2 1 & 2 \end{pmatrix}$$, <ここからの内容>:逆行列の作り方その2:掃き出し法(ガウスの消去法)の利用(線形代数第8回・第9回で学ぶ知識を利用するので、必要に応じて以下のリンクからご覧ください。), 掃き出し法を用いて連立方程式を解いた第8回:「掃き出し法と連立方程式の解」と、第9回:「非正則行列に掃き出し法を用いて階段行列を作る」を利用して『逆行列を作る方法』を紹介します。. 4 & 5 \\ 4 & 5 \\ 0 & 1 & 8 & 0 & 1 & 1 \\ (adsbygoogle=window.adsbygoogle||[]).push({}); ここでは、上述した通り『掃き出し法』の要領で逆行列を求めますが、先ほどの逆行列の作り方(1)と何が違うのか、少し触れておきます。, 上の方法(1)で紹介した方法は、2×2サイズの行列のみにしか適用できませんでした。, が、掃き出し法を使用した今回の方法を使うと、正則であれば、3×3・4×4・・・とサイズが大きくなっても逆行列を求めることができます。, 手順は非常に単純なので、第8回・第9回の掃き出し法をマスターしていれば普通の計算を繰り返すだけで逆行列を作ることが可能です。, ここでは例として、$$A=\begin{pmatrix} \end{bmatrix}=$$, $$\begin{bmatrix} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$$, $$逆行列A^{-1}=\frac {1}{ad-bc}\begin{pmatrix} (正則行列の逆行列もまた正則行列だし、その逆行列はもとの正則行列) あえて式を書くなら $$ a^{-1}a=e\\ aa^{-1}=e $$ より、\(a^{-1}\)の逆行列は\(a\)です。 おわりに. <これまでの線形代数学の入門記事>:「0からわかる線形代数の解説記事一覧」 2 & -5 \\ 2 & -5 \\ 3つのステップを通じて計算してみると、意外とカンタンに求められるのが分かりますね。 逆行列 \(a^{-1}\) を正しく求められたかチェックしたいときは、元の行列 \(a\) とかけ算してみてください。 -1 & -1 & 3 3 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & -8 & 9 & -7 \\ 3 & 5 \\ 結論が先になりますが、逆行列は常に存在するわけでは … 同様にエクセルでは、3行3列の行列も計算することが可能です。以下で手順を確認していきます。 3行3列であっても、同様に予め逆行列が出力される範囲をセ選択した上で、=minverse(元の行列)と指定します。 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1 & 3 スマホで学ぶサイト、 スマナビング! All Rights Reserved. 2 & -5 \\ 「29÷4=6あまり5 ←この計算の間違いを探そう! という物があった。 頭の中で4×6が24で、29-24=5(←余り)どこが間違ってるんだよ! 2 & -5 \\ 2 & -2 2 & 1 ご使用のブラウザは、JAVASCRIPTの設定がOFFになっているため一部の機能が制限されてます。, [1]  2020/11/04 23:44   男 / 20歳代 / 高校・専門・大学生・大学院生 / 役に立った /, [2]  2020/06/30 18:10   男 / 20歳代 / 高校・専門・大学生・大学院生 / 非常に役に立った /, [3]  2020/06/25 16:52   女 / 20歳未満 / 小・中学生 / 役に立った /, [4]  2020/06/11 23:56   女 / 20歳未満 / 小・中学生 / 非常に役に立った /, [5]  2020/02/11 05:47   女 / 20歳未満 / 小・中学生 / 役に立った /, [6]  2019/09/29 15:53   男 / 20歳未満 / 小・中学生 / 少し役に立った /, [7]  2019/05/16 17:57   男 / 20歳未満 / 高校・専門・大学生・大学院生 / 役に立った /, [8]  2019/03/29 21:56   男 / 20歳代 / 高校・専門・大学生・大学院生 / 少し役に立った /, [9]  2018/08/03 18:02   男 / 50歳代 / 会社員・公務員 / 非常に役に立った /, [10]  2018/07/08 13:47   女 / 20歳未満 / 高校・専門・大学生・大学院生 / 少し役に立った /, \(\normalsize A={\left[\begin{array}\\ a_{\small 11}& a_{\small 12}& \cdots& a_{\small 1j}\\ a_{\small 21}& a_{\small 22}& \cdots& a_{\small 2j}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\a_{\small i1}& a_{\small i2}& \cdots& a_{\small ij}\\\end{array}\right]}\hspace{20px}A A^{\small -1}=A^{\small -1}A=I\\, \(\normalsize AA^{\small -1} =LUA^{\small -1}=I\\. \end{bmatrix}の時、2× 2 の行列Bを求めよ$$, $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 11 & -12 & 9 \\ 2・ 3+\left( -5\right) ・ 1 & 2・ 5+\left( -5\right) ・ 2 \\ 2 & 3 & 3 \\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$, ここから、行基本操作を繰り返して、行列の左3列の部分がEになるように変形していきます。, ・まず1行目と2行目を入れ替えて、1列目の2行・3行の部分を0にします。{(2行目)ー2×(1行目)と、(2行目)+(3行目)を計算する)}, $$\begin{pmatrix} 3x3行列の逆行列をLU分解で計算します。 A = ⎡ ⎢ ⎣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ⎤ ⎥ ⎦ A A − 1 = A − 1 A = I A = [ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ] A A − 1 = A − 1 A = I 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 1 & 2 \end{bmatrix}を行列Aとして、その逆行列A^{-1}を求める。$$, $$A^{-1}=\frac {1}{3× 2-5× 1}\begin{bmatrix} \end{bmatrix}と確かに単位行列になっています。$$, $$EB=\begin{pmatrix}

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